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リアホイールへのラジアル組の適用について


 
GlennGould  2017-7-6 17:46
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リアホイールへのラジアル組の適用について

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スミマセン、少々長文ですので、先に章立てを示しておきます。

■ 1 ■■■■ 交差組のモデリング ■■■■
■ 2 ■■■■ ホイールにとって≪厳しい使い方≫を定義する ■■■■
■ 3 ■■■■ ラジアル組のモデリング ■■■■
■ 4 ■■■■ ラジアル組ホイールにおいて刮目すべき特性 ■■■■
■ 5 ■■■■ ラジアル組のモデリング(つづき) ■■■■
■ 6 ■■■■ 計算結果 ■■■■
■ 7 ■■■■ 突然、まとめ ■■■■
■ 8 ■■■■ ラジアル組リアホイールのパワー・フロー事例 ■■■■
■ 9 ■■■■ 再度、まとめ ■■■■
■ 10 ■■■■ 完全に蛇足 ■■■■



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サイクルスポーツ2017年6月号で、「今こそ、手組ホイール」と題して手組ホイールの特集が組まれました。自転車ライターの安井行生氏と吉本司氏によるもの。技術アドバイザーは優しそうな風貌が昔と全く変わらない(!)diossの小原光雄さん。

単品売りのハブ、リム、スポークを選んで、スポーツ自転車のホイールをショップで、または自分で組むというのが普通の出来事だった期間は長く、いわゆる完組ホイールが一般化し始めるまでは、「手組」が当たり前すぎて「手組」という言葉すら無かったように思います。一方で、一般車用として機械組を行うホイール自動組機自体は、1980年あたりから日本でもアラヤが導入し、使われていたように記憶しています。(かなり怪しい記憶・・・)

遥か昔のリア5速の時代から、多段化も11速にまで到達し、あのシマノでさえ、9000デュラと68アルテの登場とともに、いよいよオチョコ量が増大し、通常の組み方ではフリー側と反フリー側のテンションの比は2.04:1にまでアンバランスとなり、手組愛好者には緊張感を強いられる時代が到来しています。この先シマノは、 『フランジ間隔の維持』 すなわち 『ホイール剛性の確保』 をどこまで貫き通せるでしょうか。
(参考文献→ https://cbnanashi.net/cycle/modules/newbb/viewtopic.php?topic_id=13539&forum=26&post_id=23488#forumpost23488
(参考文献→ https://cbnanashi.net/cycle/modules/newbb/viewtopic.php?topic_id=12650&forum=48

いずれにしても、昔よく掴まされた(笑)2本1パック密着包装で仲良く2本とも同じように歪んだ精度の低いリムで頑張って手組するのは無理、と言っても過言ではない状況です。今でもしっかりした手組ホイールを組んでくれるdiossのようなプロショップの存在、というのは今の時代だからこそ光りますねぇ。


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さて、サイスポ2017年6月号の「手組ホイール」特集。この中に、安井・吉本氏のこんな記述がありました。

「何の工夫もしないまま後輪を両側ラジアルで組むと、おそらくたわみまくって進まないホイールになるはずだ。」

えっ、そうですか?進まないどころではなく、壊れてしまうのでは?
今どきのスモールフランジハブでリアをラジアル組にして登坂でインナー・ローを思いっきり踏んだら、リアホイールは簡単に壊れる、と、私などは想像してしまいます。ただし、単なる想像です。真面目に考えたことがありません。しかし真面目に考えるまでもなく、簡単に壊れるでしょう。いや待て、本当にすぐに壊れるのか?単に自分の思い込みかも知れないぞ?? 実験してみればよいだけなのですが、やる前に考える!というか、やるのが面倒なので、初めて真面目に考えてみました。

と ・ こ ・ ろ ・ が ・ ・ ・

その意外な結末とは!?
(前振り長スギ!!)



■ 1 ■■■■ 交差組のモデリング ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■


両面ラジアル組みを後輪に適用するとどうなるのか?
その前にまず、交差組を考えておきます。ということで、もっとも平凡な≪32H×6本組≫の場合を題材としてみます。最近は6本組ではなく3クロスという呼び方をする方も多と思いますが、サイスポの今回の特集では昔ながらの「6本組」という呼称をメインに据えていたので、ココでもそれを採用します。

次の図では32本のスポークのうち、2本だけクローズアップして示しています。ハブがずいぶん巨大ですが、単に、わかりやすくするために大きく描いています。スポークが掛っているハブ穴が2つありますが、左の穴が1個目とすると、もう一本のスポークが通る穴は6個目、というわけで、こういう交差組を「6本組」と言います。リム側の穴は1個目と3個目にスポークが通って、反対側からニップルで引き上げてテンションがかけられます。

図中の記号Fはスポークの静荷重で、ハブとリムを引っ張っています。スポークの静荷重Fとしてはホイール組上がり時のスポーク荷重に加えて、実走行時のハブ軸荷重の寄与があるはずですが、まずは簡単のために、静荷重Fはホイール組上がり時のスポーク荷重と同じ値である、としています。※
※この稿では簡単のため、クランク軸に駆動トルクを加えた際の、Qファクタに起因するタイヤ横力発生によるスポークテンションへの影響等々も省略しています。


標準的なホイールの場合、組み上がり状態で認められるスポークの静荷重Fは、例えば70kgf(686N)とか100kgf(980N)などの値を示します。32本のスポークそれぞれに加わる静荷重に大きなばらつきがあったとしても、例えばリム側から伸びている32個の荷重に比例した長さを持つ矢印をすべて3次元空間的に足し合わせると、必ず零になります。おかげで、水平なところに静かにおいたホイールが勝手に動き出すことはありません。(あたりまえですが)

実走行時には、チェンによってスプロケが駆動されることで次の図のようにホイール駆動トルクTwがホイール軸上に現れます。この時、非常に僅かですが、

「ハブの回転がリムの回転よりも先行する」

ため、図中の赤いスポークは僅かに伸び、青いスポークは僅かに縮みます。ただし、スポーク以外の変形は考慮しないことにします。ここで、ごく素朴に、赤スポークの伸び量と青スポークの縮み量の大きさは等しいものとします。以上から、伸び側のスポークテンションがFから⊿Fだけ増大するならば、縮み側はFから⊿Fだけ減少することになります。次の図のように矢印の長さがΔFの分だけ増えたり減ったりします。


図中で、それぞれの記号の意味は次の通り。

Tw : ホイール軸上の駆動トルクで、単位はNm(ニュートンメートル)
F : スポークに元々あった静荷重で、単位はN(ニュートン)
ΔF : 駆動トルクTwにともなうスポーク荷重の変化の大きさで、単位はN

トルクTwが加わったことで、スポーク静荷重はFからΔFだけ増減しますが、リムに対するハブの先回り角度が非常に小さいと仮定すると、スポークに元々あった静荷重Fは、ホイールに発生するトルクTwとは無関係となり、Twに関係する力はΔFだけとなります。そこで、矢印からΔFのみを取り出して描くと次の図のようになります。ΔFだけに着目すると、伸びた赤スポークはリムを内側に引っ張っていて、縮んだ青スポークはリムを外側に押しています。


次の図ではリムに加わる力ΔFに着目し、ΔFの、リムの接線方向の成分、を考えています。すると、伸び側、縮み側のいずれもその大きさは、次の図に示すように、

ΔF×sinθ

となり、しかもそれらの力の向きは、赤スポーク、青スポークのいずれも、リムを右回り方向に回す向きなっています。つまり、伸び側と縮み側のスポークが、駆動トルクに対して全く同様の寄与を果たしていることになります。というわけで、伸び側スポークを取り上げて、 『駆動スポーク』 などと言う場合があったりしますが、実は赤青どちらも 『駆動スポーク』 だったんですねぇ。これは、当たり前と言えば当たり前、ですが、初めて聞いた人は大抵、驚きます(って、これまでに驚いた人はせいぜい2人か3人・・・)。




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ΔFの、リムの接線方向の成分であるΔF×sinθを具体的に算出する必要がありますので、そのための準備をします。まず、以降の図で示される文字の定義は次の通り。

Tw : ホイール駆動トルクNm
ΔF : ホイール駆動トルクTwにともなうスポーク荷重の変化量N
r : ハブのスポーク穴のピッチ円半径mm ・・・68アルテグラのリアハブでは反フリー側が22mm、フリー側が22.5mm
R : ホイール中心からリム着力点までの距離mm ・・・クラシックなチューブラリムの場合は305mm程度
L : ハブ着力点であるスポーク穴からリム着力点までの距離mm ・・・Rが305mmの場合、32H×6本組では297mm
φ : 線分Rとハブ着力点への線分rがなす角度deg(度) ・・・32H×6本組の場合は67.5deg
Θ : 線分Rとスポークのなす角度 deg ・・・68アルテハブで32H×6本組の場合4deg程度

以下は図中記述がありませんが定義しておきます。

N : スポーク本数32など
M : ホイール組み数:6本組の場合は6

次の図のように、伸び側の赤スポークに関して、線分r, R, L、 角度φ, θを持つ三角形を考えます。ここでリム銘柄とハブ銘柄、そして組み方Mを与えればRとrとφは一義的に決まるので、これに余弦定理(スミマセン高校数学が出てきます)を適用するとLが与えられます。これが図中の式1です。Lが判明したらもう一度余弦定理を適用(図中の式2)して図中の式3-2のようにθが判明します。


次の図は縮み側の青スポーク。こちらも全く同様に計算して、先ほどと全く同じ角度θを得ます。ちなみに現行シマノハブでは、

24H×4本組の場合のθは3.8 deg程度
32H×6本組の場合のθは4.0 deg程度
36H×8本組の場合のθは4.2 deg程度

になります。この際ですから、その手のホイールの自転車をお持ちの方、自転車を眺めてご確認ください。


スポークによるリム接線方向の力ΔF×sinθは、伸び側と縮み側で同値となりますが、これらがホイールの駆動トルクに対応します。つまり、

「ホイール中心から接線力の着力点までの距離Rとリム接線方向の力ΔF×sinθの積」

がスポーク一本分の駆動トルクとなりますので、赤青2本分のトルクTw2は、

Tw2 = 2R×ΔF×sinθ ・・・・(4-1)

となります。また、32本分は単純にコレの16倍です。面倒なので単にTwとして書くと、

Tw = NR×ΔF×sinθ ・・・・(4-2)

です。なお、ハブのフランジ間隔方向にもスポークは角度を持ちますが、ここでは簡単のため無視しています。


■ 2 ■■■■ ホイールにとって≪厳しい使い方≫を定義する ■■■■■■■■


ここで一般的な議論にするために、次の文字を定義します。

P    乗り手の出力仕事 W(ワット)
Nc   チェンリング歯数
Ns   スプロケ歯数
Ncd  ケイデンス rpm(回/分)
Tcr   クランクトルク Nm

以上から、駆動トルクTwに起因する伸び側の赤スポークのテンション増加分(= 縮み側の青スポークのテンション減少分)ΔFは式5のようになります。また、チェンリング歯数Nc、スプロケ歯数Nsの時、クランク軸にトルクTcを与えた場合のTwとTcの関係は式6のようになります。



式5、6から、ΔFとクランク軸トルクTcの関係は式7のようになります。この際、ケイデンスNcdを考慮すると、クランク軸に入力される仕事(パワー)Pは式8となります。



さて、例えばクランク軸仕事Pが1200Wで、ケイデンスNcが125rpmというのはロードにおけるスプリントパワーとケイデンスの組み合わせとしては、十分あり得る数値です。このパワーとケイデンスが超激坂で炸裂する場合を考えます。具体的には、

勾配 : 24.4%
チェンリング歯数Nc : 38
スプロケ歯数Ns : 25

を適用すると、代表的な値として、クランク軸仕事Pとして1200W、ケイデンスとして125rpmが、車速23.9km/hにおいて得られます(CBNのツール ”RoadLoadSurveyor” のデフォルト設定での計算結果を使用しました)。というわけで、

勾配 : 24.4%
P : 1200W
Ncd : 125 rpm
V : 23.9 km/h

を、≪厳しい使い方≫として採用し、この条件での駆動について調べることにします。


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まず、駆動パワー1200WとケイデンスNcdが与えられたので、式8からクランク軸トルクTcが得られます。これを式6に適用してホイール軸トルクを算出します。その結果、ホイール軸トルクTwは

60.3 Nm

となります。次に、式5からΔFが得られますが、これは

88.3 N

となります。もともとスポークは数百Nの静荷重Fを持っていますが、一方で、38×25のローギヤで激坂超ダッシュ!を敢行してもテンションの増減ΔFは、静荷重である数百Nに対する比率としては、大きな値ではありません。ただし、このΔFは平均値ですので、ピーク値を考えると2倍程度まで考慮したほうが良いでしょう。


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次に、ステンレススポークの「ばね」としての特性をおさえておきます。ステンレススポークの縦弾性係数E(いわゆるヤング率)は、おおよそ次のような値をとるようです。

E = 2×10^5 N/mm^2

また、1.8mm(#15)スポークの場合、断面積は次の通り。

A = 2.54 mm^2

32H×6本組のスポーク長さの実効値(おもてに出ている部分)を

L = 290mm

とすれば、スポーク1本の伸縮方向の≪ばね定数K≫はAとEとLを使って

K = AE/L = 1755 N/mm

と書くことが出来ます。

このKの値を適用すれば、例えば⊿Fが70N(7.1kgf)という巨大な駆動荷重が加わってもスポークは0.04mmしか伸び(または縮み)ませんから、スポーク長さLと、半径線分Rと、ハブ半径線分rのなす三角形の形状の変化はほとんどないと言ってよく、この場合のθの偏差は、4.011871degから4.014441degに変化するのみ、つまり0.00257degしか変化しません。したがって、交差組の場合は、静荷重F自体がトルクに影響を与えることはほぼないことになるので、スポークの伸びを表立って扱う必要がない、ということになります。


■ 3 ■■■■ ラジアル組のモデリング ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■


次にラジアル組を考えます。
「6本組」の呼称を引用すると、ラジアル組は「0本組」に相当します。聞いたことがありませんが・・・

まず、トルクTwが零の場合の静荷重Fの様子は次の図のようになります。


交差組と同じように、リムに対してハブが僅かに先回りすることでトルクが伝達されます。ハブが先回りして下図のように2本のスポークいずれも荷重が増大し、FからF+ΔFになります。


交差組と同じように、角度θとφを与えます。


次に駆動トルクに寄与するリム接線方向の力の算出ですが、これが交差組とは異なってきます。交差組の場合は、三角形の形状変化が微小であり、静荷重Fはトルクに寄与しないという近似が精度よく成立しましたが、ラジアル組では全く事情が異なります。図で、元々ゼロだったφが駆動トルク発生に応じて数値を持ち、F+ΔFがすべて、駆動トルクに寄与することになります。というわけでスポークN本(=32本)のホイールトルクTwは式9のように表されます。

Tw = N×R×(F+ΔF) sinθ ・・・・(9)

まあしかし、上の図。そもそも今どきのバラ売りハブのフランジサイズがスモールであることも考慮すれば、角度θは多分、ものすごく小さい値で、これに対応してΔFをとんでもなく巨大な値にしないと、式9の右辺が左辺と釣り合わないだろうなあ、と思うわけです。スポークが切れるか、リムの鳩目が吹き飛ぶでしょう。(と想像していたのですが・・・)



■ 4 ■■■■ ラジアル組ホイールにおいて刮目すべき特性 ■■■■■■■■■


ちょっと脱線します(いや本題かも)。
ラジアル組では刮目すべき面白い特性があります。
まず、交差組では、静荷重Fが駆動トルクに寄与しないというのは説明した通りで、式4-2にも示しました。ところが、ラジアル組では式9に示すように、静荷重Fがそのまま駆動トルクに寄与します。つまり、

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・・・ある一定のトルクを出そうとするとき、
小さい静荷重Fで組んだホイールでは角度θを大きくしなければならず、したがってハブ先回り角度φも大きくなる
一方、大きい静荷重Fで組んだホイールでは角度θが小さい値で済み、したがってハブ先回り角度φも小さくなる
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という特性を持ちます。
ということは、低い静荷重で組んだラジアル組ホイールでは、ハブが余計に先回りすることになりますから、駆動力に対して柔らかいばね特性を持つホイールとなり、高い静荷重で組めば、硬いばね特性を持つホイールが出来上がる、ということになります。一方、交差組では静荷重Fの大小がホイール剛性にほとんど影響しませんから、ラジアル組は、交差組とは事情が全く異なることになります。

「えっ!ちょっと待って、そこが聞きたい。ばね特性が?」(田原総一郎風で)
(場内騒然 ・・・)

ハブ穴の中でスポーク先端が全く自由に回転できるわけではないし、フランジとスポークの擦れもあり、幾ばくかの損失が発生しますが、そもそもステンレス自体、内部損失が非常に小さい素材ですから、ばねによる効果が如何なるものか、期待が膨らみます。サイスポ6月号では、

「何の工夫もしないまま後輪を両側ラジアルで組むと、おそらくたわみまくって進まないホイールになるはずだ。」

と書かれていたわけですが、静荷重の設定次第で、面白い乗り味になるかも知れません。もしかしたら・・・ですけど、まあ、言下に否定する必要もないでしょう。


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KAISEIの前身である石渡製作所はかつて、「015」 という、用途限定の軽量極薄クロモリ・チューブセットを、そして丹下鉄工所はさらに薄い「チャンピオン・プロ」 というチューブ・セットをラインアップしていましたが、これらをさらに進めた超極薄チューブでフレームを製作すれば、横たわみが大きすぎて、相応のペダリング・スキルの習得が必要になるでしょう。それはさておき、フレームの撓みはBBが横スライドする方向の割合が大きいのですが、横方向の撓みでフレームにストレージされたエネルギー(ストレージされるエネルギーの大きさは、実はフレーム剛性に反比例して柔らかいフレームほど大きい)は推進力に変換されるわけではなく、単に、ライダーが踏んだ分を反力として即時的(実質的に遅れはゼロ)にライダーの脚に返すだけで、エネルギー利用という観点からは何の旨みもなく、電気モータにつないだ電池のようなエネルギー回収などできるはずもない生身のライダーは、フレームやクランク・アームを横方向に撓ませるためにごく僅かながら余計な仕事をしています(ちょっと雑な議論ですが、大筋はこうです※)。
(※ 5時前後のクランク位相で真下に踏み込んで、自転車としての仕事もしないのに筋肉が力を余計に出してしまい、化学エネルギーとして消費してしまう「普通の」ペダリングの方が、しなるスチール・フレームを撓ませる「心地よい、ほんの僅かなムダ仕事」よりも、よほどもったいないと思います・・・)

一方でラジアル組ホイール。
この場合のエネルギー・ストレージはフレームの横たわみとは全く別モノです。ラジアル組ホイールのばね感かライダーに伝わるとともに、ホイールが溜め込んだエネルギーはちゃんと出力側に伝達されます。たわんでもちゃんと推進力になるのですから、新たな可能性を拓くかも知れない、というわけです。

まあしかし、スポークが切れては仕方がありませんけど。


■ 5 ■■■■ ラジアル組のモデリング(つづき) ■■■■■■■■■■■■■■■■


本題に戻ります。
駆動トルクを与えると、ハブが先回りして、先ほどの図のように細い三角形が現れます。この三角形に対して図中に示す式を適用します。先回り角度φにある値を与えると、この式からLとθを導出することが出来ます。駆動トルクを与える前には、ハブが先回りしていないので三角形は一直線になっていますが、このときのLを初期値L0とすると、

L0 = R-r  ・・・(13)

ですから、このL0と、式10から得られるLとの差分がスポークの伸び量となります。したがってスポークテンションの増大ΔFはヤング率Eとスポーク断面積Aを使って、

ΔF= EA/L0×(L-L0)  ・・・(14)

あとは、静荷重Fを適当に与えて、結局ホイールトルクは

Tw = N×R×(F+ΔF) sinθ ・・・・(9 再掲)

で与えられます。

32H×6本組の場合の計算事例と同じように、以下の数値の組み合わせについて調べてみることにします。

勾配 : 24.4%
P : 1200 W
Ncd : 125 rpm
V : 23.9 km/h

上記に歯数38×25を適用して

Tw : 60.3 Nm

適切な静荷重Fを与えて、そのときにホイールトルクTw=60.3 Nmを満足するような角度θ、φ、ΔFを算出します。


■ 6 ■■■■ 計算結果 ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■


まず、ラジアル組の計算結果から先に示します。
次の3つのグラフはすべて、横軸がスポーク静荷重で、0から1200Nまでとっています。0Nのラジアル組ホイールというのは、ユルユルで、単にホイールの姿をしているだけ、という感じ、1200Nは、かなりしっかりテンションを与えた感じです。なお、簡単のためでフリー側と反フリー側に同じ静荷重Fを与えているものとしています。また、ハブのスポーク穴のピッチ円半径Rは22.5mmとしています。結構面倒な計算のため、計算点は四角印 ”□” のところのみで、青実線はこれらの3次回帰線です。


さきほど≪厳しい使い方≫を設定しました。すなわち駆動パワー1200Wとケイデンス125rpmで24.4%の激坂を38×25のギヤで駆け上がるときのホイールトルクTwが60.3Nm、でした。で、1段目のグラフは、ホイールトルクが60.3NmになるときのF+ΔFの値です。横軸は設定した静荷重Fです。赤鎖線は、横軸と同じ値つまりFなので、青実線と赤鎖線の差が、ΔFです。ユルユルの場合はΔFが500Nに達しています。ハブ先回り角度φは二段目のグラフ。リムとスポークが直角からずれる角度θは三段目のグラフです。静荷重Fを大きくするとΔFは徐々に小さくなり、同時にφとθも小さくなり、ハブの先回り角度が減少します。すなわち、「硬く」なります。

「あれーっ!」

注目すべきは1段目のグラフ。横軸の静荷重を十分大きな1200Nとした場合でも、F+ΔFが最大でも1300Nにしかならない、ということです。また、静荷重F=500Nで組んだホイールならば、60.3Nmという巨大なホイールトルクを発生しても、F+ΔFが750Nにもならない。つまり、私が想像したほど簡単にはスポークが切れないのではないか!? ということです。

「えっ、簡単には切れない?ちょっと待った、話が違うってことだ!」(田原総一郎風で)
(客席からヤジ、怒号・・・)

かなり素朴な検討なので、実際にこの通りになるとは限りませんが、少なくとも、私は今まで、 「ローギヤで思いっきり踏めば」 スポークが意外と簡単に切れると想像していました。その根拠が、θが小さすぎてそれを補うためにΔFが巨大化するはず、という素朴な想像だったのでしたが、どうやらその想像はちょっと安易だったかも知れない、ということです。

次に、上のグラフに「6本組」の結果をピンク色で重ねます。


一番上は、ホイールトルクが60.3NmになるときのF+ΔFの値です。6本組の場合は、静荷重FにかかわらずΔF、φ、θは同じ値をとりますので、最上段のピンク線は単にFを示す赤鎖線を一定値ΔFだけ並行移動させた形となり、二段目のφ、三段目のθは一定、すなわち組んだ時の角度そのもの、となります。ラジアル組と違って、交差組のホイール剛性は静荷重Fに依存しませんが、ホイールが転がるときに下側に来たスポークがテンションを失ってはまずいので、許容される静荷重Fの最小値が存在します。


■ 7 ■■■■ 突然、まとめ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■


というわけで、リアのラジアル組、そう簡単にはスポークが切れないかも知れません(・・・懺悔)
(場内騒然、怒号・・・)

・・・で、まあ、切れる切れないはちょっと忘れて、ラジアル組リアホイールのエネルギー・ストレージ機能。
も ・ し ・ か ・ し ・ て・・・

『ラジアル組のリアホイール。静荷重Fを適切に設定すれば、新しい地平を拓く気分サイコーなホイールになるかも!?』

しかし、モノは試しということで、本気でリアホイールをラジアル組にして常用するのはくれぐれも控えてください。やっぱりすぐに切れちゃった!という可能性もありますので、あくまでも、用心の上に用心を重ねた上でのお試しまで。もともと、自転車のスポークは、その引張強度限界に比して、安全率が大きく設定された設計とはなっていません。橋脚やエレベータ、産業機械などの機械設計で設定される一般的な安全率より、ずっと小さいはずです。だからあちこちで「切れた」という話を聞くわけです。それを考慮すると、ホイール組で何かチャレンジする場合は、十二分な見極め期間というものが必要になります。「ホイール組を良く知る経験者で用心深い人」以外が、それをやるのは危険です。ベテランの方も含めて、もし試してみようという方は、そのあたりをご理解いただき、「何が起きても自分自身の責任の範囲内で何とかする」 ということでお願いします。

また、同じ計算ルーチンで例えばMTBの油圧ディスクでフルブレーキング10 m/s^2といった強烈減速(ロードでも5m/s^2は容易)を想定すると、制動トラクションをほぼ100%受け持つ前ホイールには300Nm程度が掛り、そうすると上記の手法で試算されるスポークテンションは1900N辺りに達します。一方、6本組では1400N程度にとどまる、というわけで、油圧ディスクの前輪にラジアル組はダメというのは、変わりないようです。


■ 8 ■■■■ ラジアル組リアホイールのパワー・フロー事例 ■■■■■■■■


ラジアル組のリアホイールで走った時の、リアホイールにおけるエネルギーの出入りの件です。単位時間当たりのエネルギーの流れ、つまりパワーのやり取りがどうなっているのか!?

具体的に机上確認します。
ここではホビー・サイクリストの巡航走行を仮定し、チェンリング50Tにスプロケ18Tを選択します。すなわち増速ギヤレシオ2.778です。このギヤ比でクランクを100rpmで回し、時速35km/hで定速走行する場合を想定します。CBNの走行抵抗計算ツール”RoadLoadSurveyor” のデフォルト設定によれば、この条件での走行パワーは234W程度になります。これを実現するクランク軸側平均トルクは22.3Nmです。ここで、クランク軸トルクは一定ではなく、一般的には、右足と左足で交互に踏み込む場合が多く、大きなトルク振幅を持つことに留意し、左右の脚が発生するトルク・プロフィールを設定します。
まず、クランク角度の定義ですが、

「クランク・アームが0時をさすときが、クランク軸角度θcが零である」

としておきます。0度がクランク軸零時、180度がクランク軸6時です。次にトルク発生の時間帯。

「右足によるトルクは、1時半から7時半まで発生する」

と仮定します。一方、

「左足トルクは、右足の時間でいうと、7時半から1時半の間でトルクを発生」

するものとします。

さらに、一回転12時間のうち、左右各6時間のトルク発生時間帯において、正弦波の上半分の形状のトルクが発生するものとします。次の図で横軸がクランク時刻、赤線が右足トルク、青線が左足トルクで、時刻零時から12時までのクランク一回転分のトルク・プロフィールを示しています。


先ほど述べたクランク平均トルク22.3Nmを得るためには、正弦波トルクのピーク値を上図のように35.0Nmとする必要がありますが、これが増速ギヤレシオ 50/18 = 2.778 を経由してリアホイールに伝達されるので、ホイール上のトルク・ピーク値はレシオで除して 12.6Nmとなります。


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次に、現実的なハブピッチ円半径として22.5mm、ホイール中心からスポークのリム着力点までの距離Rを305mmとした場合の、ハブ先回り角度φと、その時のホイールトルクの関係、すなわち、

「スプロケ駆動力から見込んだホイールのばね特性」

を確認しておきます。なおスポークの静荷重Fは300Nと低めに設定した場合で確認します。次の図が計算結果です。
先回り角度φが大きくなると、ホイールトルクTwも増大する、すなわち、ばね特性が存在する、というのが次のグラフで示されます。しかしこれが、普通のばねのように直線ではなく、3次関数的な形状となっています。つまり、普通のばねとは異なり、ホイールが示すばね定数は定数(一定)ではなく、トルクに依存するということになります。既述のとおり、時速35km/h巡航でのホイールトルクは最大で12.6Nm程度なので、それを勘案すると、図から、ハブ先回り角度の最大値はせいぜい2.68度となります。これをギヤレシオで除してクランクの先回り角度になおすと、0.964度となります。(※無論、実際のクランクは剛性が有限で、これまたばね特性を持ちますのでクランクはさらに先回りするはずですが、この計算ではラジアル組ホイールのばね特性以外は扱っていません)


そのばね定数(定数ではありませんが)を次に示します。ばね定数は、ハブ先回り角度φが零度から2.68度つまり、ホイール軸トルクTwが0Nmから12.6Nmのトルク範囲において、4Nm/degreeから6Nm/degreeとなりました。35km巡航ではこの程度のばね定数ですが、最大トルクで加速するような場合は角度φが大きくなり、これにつれてばね定数も上昇します。



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ばね特性が判明し、ばねに出入りするエネルギーの計算ができるようになったというわけで、次に、そのパワー・フローを示します。234Wで35km/h巡航を仮定しています。
次の図は、スポーク静荷重300Nで組んだラジアル組ホイールで、前述のクランク・トルクで走って加速し、時速35km/hに到達して走行抵抗と釣り合った時点での波形を1秒間だけ示しています。横軸時間が299から300秒で示していますが、十分に加速しきって空力などの走行抵抗と釣り合うまで計算したため、このような大きな時間になっています。クランク・トルクは2段目のグラフで、ピーク値が35.0Nmです。3段目が駆動パワーで、クランク・トルクとクランク回転速度から計算したもの。黒破線が平均値で234Wを示します。一つとんで5段目が、ハブ先回り角度φをレシオ分減速してクランク軸上で評価した場合の角度Δangleで、ピーク値は既述の如く0.964度です。ホイール剛性が無限大であればこのΔangleは零となりますが、ホイールのばねのおかげで、クランクトルクに応じた先回り角度が発生します。戻って4段目が、ホイールのばねが吸収し放出するパワーです。±3W程度の出し入れとなります。損失は考慮していないので、平均値は零になります。なお、駆動トルクが正弦波の上半分を連ねた形状なので、それに応じて車速も1段目のように微小変動します。(※このパワーフロー計算はCBNツール”RoladLoadSurveyor”で対応していません)


と、ここまでサラッと書きましたが、

4段目の「ホイールのばね特性が吸収し放出するパワー」・・・何か違和感ありませんか?

最下段のΔangleは、ハブの先回り角度ですが、例えば赤線で示す線は、右足で踏み込んで1時半から7時半までトルクを与える線。この山と4段目の「ばねが吸収し放出するパワー」の赤い正弦波状の線を見ると、同期しています。つまり、踏み始めて、ハブ先回り角度が最大を示す時刻までが、ばねのパワーが正数、つまりばねにエネルギーが蓄積される時間帯。次に、その時刻から徐々に今度は踏み込む力が弱まり、ついにハブ先回り角度が零になるまでが、ばねのパワーが負数、つまりばねがエネルギーを放出する時間帯です。ホイールへのエネルギーの蓄積と放出は、右足で踏んでいる間にすべてが完結します。右足で踏んだ分は右足の時間で完結する・・・

少し話が飛びますが、スチール・フレームの美点として、

「右足で踏んで溜め込んだエネルギーを、左足で踏み始めるタイミングでアシストするように吐き出して・・・」

という類の言説が広く、深く、まことしやかに、違いの分かるクロモリ上級者必携のセンテンスとして語られています。しかし、ホイールのばねだけではなく、フレームの撓みに起因するエネルギーの蓄積と放出も実は、全く同じで、上のグラフのように右足で踏んで溜め込んだエネルギーは右足で踏む力がゼロになるまでに、ほぼすべて吐き出されるのです。厳密には、ばね成分だけではなく、スポークにもフレームにも、構造自体の質量が存在し、質量の影響によるタイミングのずれ(位相差)が存在しますし、カーボンであれば内部損失も位相差に寄与しますが、クルマのエンジンのように3000rpm以上を普通に回すならともかく、自転車のように精々200rpm以下といった低周波領域では、この位相差は無視できます。まして、「右足で踏んで溜め込んだエネルギーを、左足のタイミングで」などという超々巨大な位相差など、せいぜい200rpm以下では起こるわけがない、というのが実際のところです。それに、BBが横スライドする方向のたわみに関して言えば、駆動力への寄与はほぼゼロです。(※そういうわけで、計算モデルには最初から質量や損失による位相遅れの影響を入れていませんが)

しかし、「右足で踏んで溜め込んだエネルギーを・・・」という類の俗説でさえ、「あ、ほんとだ!」と、体感できたような気になってしまうあたりに、スチール・フレームの歴史と実績のなせる業というか、それこそ、魔法のような鉄の力を感じざるをえませんが、スチールフレームの良さは、そういった俗説にあるのではなく、

「内分損失の小さい線形性の高い材料である故、どんなケイデンスでもライダーの投入する踏力に遅れなく、踏む力に比例してちゃんとたわみ、それが心地よい走りに貢献する」

「フレームたわみ量分布はチューブ・セットを選び、さらに番手を組み合わせることで広範囲に調整が可能で、乗り手のスキル、嗜好を反映することも容易であり、これは、モダン・スチール、クラシック・スチールなどという呼称で差別化、矮小化されるような古びたコンセプトではなく、今に活きる伝統そのものである」

「カーボンのように素材の損失に依拠した振動吸収ではなく、構造の曲げで振動と付き合い、素材の小さい内部損失によってしっかりと乗り手に路面情報を伝達する潔さ」

といった辺りにあるのです。

「ちょっと待った!それは新たな俗説ってことだ!?」(田原総一郎風で)
(客席騒然・・・)


■ 9 ■■■■ 再度、まとめ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■


ばね特性を有するラジアル組リアホイールに話を戻します。
ラジアル組リアホイールのばね特性の効果について、あとは、静荷重Fと走行フィーリングの関係を実車で確認するのみ、です。さあ、どうでしょう。なかなか面白いと思いませんか? というわけで、実学系自転車ライターの安井・吉本組に、是非ともラジアル組リアホイールの静荷重と乗り味の関係について実験してほしいと思う次第、なのであります。吉と出るか、凶と出るか!?(私の場合、やると言ってから実際にやるまで5年位経ってしまったりするので・・・)

「ちょっと待って。切れる切れないって話はどこ行った?」(田原総一郎風で)
(客席からヤジ、怒号・・・)




評   価→★★★★☆(ある意味、発見といえば発見→夏休みの自由研究はコレで決まりダ!?)

年   式→2017




■ 10 ■■■■ 完全に蛇足 ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■


ついでなので、走行中にスポークにかかる荷重を算出してみます。

ごく素朴に次のように考えて計算してみます。
● 走行中にはホイール軸に乗員と自転車の荷重がかかる
● この荷重によりホイール軸中心が無負荷時中心から下方にわずかに沈む
● ラジアル組の場合、ハブ軸心を通る水平線よりも上に位置するスポークは伸びてテンションが増大する
● 一方、下に位置するスポークは縮んでテンションが減少する
● 伸び側スポークのテンション増分の【重力方向成分の総和】と、縮み側スポークのテンション減少分の【重力方向成分の総和】を考える
● 上記の各総和をさらに足し合わせたものがホイール軸に加わる荷重と釣り合う

図は計算結果です。線の長さは、荷重100%に対する割合(%)です。


32Hラジアル組の場合であり、線分の長さは

『各スポークの静荷重Fからの変化分を重力方向成分と水平方向成分に分けて、そのうち、重力方向成分だけ』

で示します。上半分と下半分が同じ形状をしていますが、上側は伸びているので荷重変化は正数、下側は縮むので負数となりますので、色を分けることで示しています。線分は32本ありますが、角度0degと180degのスポークの荷重変化は非常に小さい割合(ほぼ零)となってしまうため、見えていません。上下対称のスポーク配置にしたので線分が水平線に対して対称形をしていますが、転がるので、実際にはこの限りではありません。しかし、いかなる場合でも上半分と下半分の線分の長さの総和は等しくなります。というわけで、図の直線の長さは、各スポークの、ホイール軸荷重分担の比率を示しています。
(へぇ~、こういう風になるのか、という感じ)

上側のスポークは、軸荷重によって伸びるため、軸を上方に支えているというのは容易に了解されると思いますが、下側のスポークは 「何もしていない」 のではなく、縮むことでハブのスポーク穴を引き下げる荷重がFから減少し、その結果として 「ハブ軸を上方に押し上げて、荷重を支えている」 ことに注意してください。上半分と下半分は、軸荷重を支えるという意味で、同じことをやっています。

なお、計算過程は省略しました。(ご質問はCBN Bicycle Forumでお願いします)
32Hラジアルの場合、荷重増大最大値は90deg、荷重減少最大値は270degのスポークで見られ、荷重変動の最大値は軸荷重の6.25%となりましたが、交差組もまあ遠くない結果となると思われます。

というわけで、仮に軸荷重が50kgf(490N)の場合、その6.25%は30.625N
つまり、1000Nのテンションで組んだホイールで惰性走行した時にスポークにかかる荷重変化範囲は1000±30.625Nということになります。これは滑らかな路面で静かにさーっと流した場合の変動です。路面が荒れていたりすればもっと大きな変動になるでしょう。


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・・・それにしてもこのレビューの計算結果、妥当なんですかねぇ?
何と言っても自分以外、誰も査読していないのが気がかりです。各種機関で研究されている方とかメーカーさんの設計の方にアドバイスしていただけると助かります。(ここは真面目モード)










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